Lektionsplan uge 39.

Denne ugeplan omhandler andengradspolynomiet, $f(x)=ax^2 + bx + c $
Vi vil starte med at finde rødderne til andengradspolynomiet, altså når grafen for $f$ skærer x-aksen, svarende til $f(x)=0$

Sætning Hvis $a \ne 0$, er der op til to løsninger til andengradsligningen $ax^2 + bx + c = 0$
De to løsninger er givet ved $$x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} \quad \quad ; \quad D=b^2-4ac $$

Bevis for sætning Vi starter med ligningen $$ax^2 + bx + c = 0$$ Vi forlænger med 4a. $$\textcolor{red}{4a} \cdot (ax^2 + bx + c) = \textcolor{red}{4a} \cdot 0 $$ $$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$$ Vi lægger $ b^2 $ til og trækker 4ac fra på begge sider af lighedstegnet $$4a^2x^2 + 4abx + 4ac +\textcolor{red}{b^2} -\textcolor{red}{4ac}= 0+\textcolor{red}{b^2}-\textcolor{red}{4ac}$$ $$4a^2x^2 + 4abx + + b^2= b^2-4ac$$ Venstresiden kan nu omskrives vha anden kvadratsætning da $$(2ax+b)^2=4a^2x^2 + 4abx + + b^2$$ Vi kan derfor skrive $$(2ax+b)^2= b^2-4ac$$ Højresiden samler vi som diskriminanten og kalder den for $ D $. $$D=b^2-4ac$$ $$(2ax+b)^2= D$$ Vi tager nu kvadratroden på begge sider af lighedstegnet $$2ax+b= \pm \sqrt{D}$$ For at isolere $ x $ trækker vi først b fra på begge sider af lighedstegnet. $$2ax+b-\textcolor{red}{b}= -\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{D}$$ $$2ax= -b \pm \sqrt{D}$$ Nu dividerer vi med 2a på begge sider af lighedstegnet. $$\dfrac{2ax}{\textcolor{red}{2a}}= \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{\textcolor{red}{2a}}$$ $$x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a} \quad \quad ; \quad D=b^2-4ac $$

Eksempel 1 Vi vil bestemme rødderne i andengradspolynomiet $f(x)=-x^2+2x+3$
Vi aflæser værdierne af $a, b$ og $c$.
$$a=-1, b=2, c=3$$ Nu kan vi bestemme diskriminanten, $D$ med formlen $D=b^2-4ac$ $$D=2^2-4\cdot (-1)\cdot 3=16$$ Rødderne kan nu bestemmes med formlen $$x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a}$$ $$x = {-2 \pm \sqrt{16} \over 2\cdot (-1)}={-2 \pm 4 \over -2}$$ Vi deler løsningerne op $$x= {-2 + 4 \over -2} \lor x={-2 - 4 \over -2}$$ $$x= -1 \lor x=3$$ Konklusion
Rødderne til andengradspolynomiet $f(x)=-x^2+2x+3$ er bestemt til $x= -1 \lor x=3$.

Lad os tage et eksempel mere.

Eksempel 2 Vi vil bestemme rødderne i andengradspolynomiet $f(x)=2x^2-4x+2$
Vi aflæser værdierne af $a, b$ og $c$.
$$a=2, b=-4, c=2$$ Nu kan vi bestemme diskriminanten, $D$ med formlen $D=b^2-4ac$ $$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 2=0$$ Rødderne kan nu bestemmes med formlen $$x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a}$$ $$x = {-(-4) \pm \sqrt{0} \over 2\cdot (2)}={4 \pm 0 \over 2}$$ $$x= 2$$ Konklusion
Roden (dobbeltroden) til andengradspolynomiet $f(x)=2x^2-4x+2$ er bestemt til $x= 2$.

Vi ser at andengradsligningen kun har en enkelt løsning når $D=0$.
Dette skyldes at vi får samme resultat uanset om vi lægger 0 til eller trækker 0 fra i tælleren

Lad os et sidste eksempel hvor der ingen løsninger eksisterer.

Eksempel 3 Vi vil bestemme rødderne i andengradspolynomiet $f(x)=-3x^2+2x-1$
Vi aflæser værdierne af $a, b$ og $c$.
$$a=-3, b=2, c=-1$$ Nu kan vi bestemme diskriminanten, $D$ med formlen $D=b^2-4ac$ $$D=2^2-4\cdot (-3)\cdot (-1)=-8$$ Rødderne kan nu bestemmes med formlen $$x = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a}$$ $$x = {-2 \pm \sqrt{-8} \over 2\cdot (-3)}$$ Da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal stopper vi her.
Konklusion
Andengradspolynomiet $f(x)=-3x^2+2x-1$ har ingen (reelle) rødder.

Vi ser at det ikke er muligt at finde nogle rødder når diskriminanten er negativ.